Le nostre vite sono un lungo integrale di istanti infinitesimi che in ogni momento continua ad estendersi di un nulla.
«Fermati, attimo, sei bello»: parole prese in prestito al Faust di Goethe, a ricordarci lo scorrere del tempo, il suo avanzare ineludibile, che lentamente e con pazienza corrompe ogni cosa. Ma per quale ragione è tanto importante l’attimo, l’istante? Di per sé esso è un nulla, perché pur essendo una frazione di tempo, è una frazione che non ha una durata, un’estensione. Proprio come in matematica è nulla la differenza tra il numero “0,9 periodico” (0,9999999… con infiniti 9) e il numero 1. Per ogni numero che scegliamo più piccolo di 1, infatti, “0,9 periodico” è più grande di esso. La conclusione è che non esiste alcun numero che si possa frapporre tra “0,9 periodico” e 1, e quindi i due numeri sono in realtà lo stesso. Ma allora occorrerà dire che prelevando un istante esatto dalla propria vita, si è prelevato un nulla e quindi non si ha procurato alcun danno. Come può, dunque, essere tanto importante l’istante?
È l’arte, tra tutte le discipline umane, quella che maggiormente si interroga attorno a tale quesito. Di più: tra i propositi fondanti dell’arte si trova la ricerca di una soluzione alla corruzione del tempo, raffigurando qualcosa che possa imprimere eternamente un istante.
Ne sono un esempio i quadri del grande artista del novecento Balthus. Influenzato dalle lezioni del poeta Rainer Maria Rilke – amante della madre e suo maître à penser fin dal ragazzino –, egli nei suoi quadri raffigura quegli istanti di esistenza sospesa per i quali il sentiero della vita devìa bruscamente, lasciando una cicatrice nel momento esatto in cui si infrange l’età dell’innocenza.
In una delle numerose lettere che Rilke inviò al giovane Balthus per il suo compleanno (che ricorreva il 29 febbraio), vi è scritto: «Sempre a mezzanotte c’è una piccola fessura tra il giorno che finisce e il giorno che inizia. Una persona molto intelligente che riuscisse a scivolarci dentro uscirebbe dal tempo e si ritroverebbe in un regno indipendente da tutti i cambiamenti che subiamo; in questo luogo sono tenute tutte le cose che abbiamo perduto. È lì, mio caro Balthus, che dovresti intrufolarti nella notte del 28 febbraio, per prendere possesso della tua festa che vi è nascosta».
Ed è proprio lì che Balthus è riuscito a entrare con la sua arte, in quegli attimi di tempo che separano il prima dal dopo, sui vertici di una linea spezzata, lì dove il destino svolta inaspettatamente. I personaggi di Balthus sono catturati nella propria intimità, spesso nel passaggio tra infanzia e adolescenza, nell’istante in cui il primo pensiero lascivo fa breccia attraverso la loro ingenuità. La grandezza di Balthus è quella di riuscire a mostrare l’istante esatto in cui tale pensiero cambierà per sempre la vita del personaggio ritratto: un momento prima era una persona, il momento immediatamente successivo ne sarà un’altra; noi lo vediamo eternamente imprigionato nella tela mentre si prolunga in eterno l’istante tra il prima e il dopo.
E la scienza in tutto questo? Essa giocava con l’infinitamente piccolo (perché questo è un istante: un intervallo temporale infinitamente piccolo) fin dai tempi dell’antica Grecia. Un esempio notissimo è il paradosso di Achille e la tartaruga di Zenone. Nella descrizione che ne fa Jorge Luis Borges in Metamorfosi della tartaruga (Altre inquisizioni), Achille corre più veloce di una tartaruga che però parte rispetto a lui con un vantaggio, diciamo di un metro. Nel tempo impiegato da Achille a percorrere quel metro, la tartaruga si sarà spostata, diciamo di dieci centimetri, e quindi sarà dieci centimetri più avanti di Achille. Achille allora percorre i dieci centimetri, ma nel frattempo la tartaruga sarà avanzata di un centimetro, restando in vantaggio. Achille percorre il centimetro, ma la tartaruga avrà già percorso un millimetro. E si può andare avanti così all’infinito senza che Achille riesca mai a raggiungere la tartaruga.
Il paradosso è talmente lontano dall’esperienza che tutti noi facciamo ogni giorno da apparirci folle, ma una sua soluzione formale richiede una certa conoscenza matematica di quelle che sono le “serie”, ovvero somme di infiniti numeri. Zenone, nel suo paradosso, dava implicitamente per scontato che sommando infiniti numeri, per quanto piccoli, si debba ottenere come risultato l’infinito. Idea scorretta, per quanto istintivamente possa apparirci verosimile. Sommando infiniti numeri, infatti, non è detto che si ottenga un risultato infinito, dipende da quali numeri si sommano. Un esempio, tanto per capire di cosa stiamo parlando, è un caso particolare della cosiddetta serie armonica, in cui si sommano tutti i numeri della forma 1/n², ovvero 1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+… e così avanti all’infinito. Il risultato di tale somma, lungi dall’essere infinito, è π²/6.
Qualcosa di simile accade per Achille: gli infiniti intervalli di tempo impiegati da Achille per percorrere via via le distanze che lo separano dalla tartaruga se sommati danno un risultato non-infinito, e quindi Achille raggiunge la tartaruga in un tempo finito.
Ma questa trattazione matematica – qui descritta riassuntivamente in parole – ha dovuto attendere molti secoli e matematici del calibro di Carl Friedrich Gauss, Augustin-Louis Cauchy, Bernard Bolzano, per arrivare a un formalismo coerente e ben definito.
Prendiamo un concetto fondamentale in questo campo: il cosiddetto punto di accumulazione. Possiamo intuitivamente definirlo come un punto che attorno a sé ha infiniti punti infinitamente vicini. Per comprendere tale definizione, immaginiamo l’intervallo di numeri che vanno da 0 a 1. Dimostriamo che 0 è un punto di accumulazione perché ha infiniti altri punti vicini ad esso. Prendiamo un qualsiasi punto tra 0 e 1 e chiamiamolo A (per esempio A potrebbe essere il numero 0,5). Il numero A/2 è sempre un numero appartenente al nostro intervallo e si trova tra 0 e A. Ripetiamo quanto appena fatto ma a partire da A/2, prendendo A/4 (che è compreso tra 0 e A/2). Possiamo ripetere l’operazione quante volte vogliamo: a qualsiasi numero dovessimo arrivare, dividendolo per due ci avvicineremmo ulteriormente a 0, senza mai raggiungerlo. Ciò implica che 0 ha infiniti numeri ad una distanza infinitesimale, il che lo rende un punto di accumulazione. Ugualmente accade per un istante, che è un punto di accumulazione del tempo, avendo altri infiniti istanti accanto ad esso ad una distanza infinitesimale.
Oltre ai puri matematici, due grandi scienziati come Gottfried Wilhelm von Leibniz e Isaac Newton usavano concetti simili a quelli appena descritti per inventare il calcolo infinitesimale, in cui si introducono grandezze infinitesimamente piccole per descrivere la realtà che ci circonda. Facciamo un esempio pratico di ciò che il calcolo infinitesimale permette di fare: dobbiamo andare in gita, così partiamo in macchina da Trieste alle dieci di mattina e giungiamo a Genova alle quattro di pomeriggio. Conoscendo la distanza tra Trieste e Genova e misurando il tempo che abbiamo impiegato a percorrerla, possiamo calcolare la velocità a cui abbiamo viaggiato. Si tratta però di una velocità media, non è affatto detto che durante il tragitto abbiamo mantenuto costantemente tale velocità, potremmo ad esempio aver rallentato a causa del traffico nei pressi di Venezia e accelerato altrove. Se avessimo misurato l’ora esatta in cui siamo passati a Verona saremmo in grado di fornire una stima più corretta della nostra velocità durante il tragitto. Più città aggiungiamo alla lista delle misurazioni, più la descrizione della velocità diventa corretta. Ma per avere la velocità esatta ad ogni istante, dovremmo dividere l’itinerario in infiniti segmenti di lunghezza infinitesima, percorsi in altrettanti infiniti tempi di durata infinitesima. Questo è ciò che fa il calcolo infinitesimale: calcolare le velocità, le accelerazioni, le forze e altre grandezze, utilizzando quantità infinitesimali.
Dividendo appropriatamente uno spazio di lunghezza nulla per un tempo di durata nulla si ottiene la velocità di un oggetto in un determinato punto e in un determinato istante, in gergo si dice che la velocità è la derivata dello spazio rispetto al tempo. Si può effettuare anche l’operazione contraria: la velocità che un oggetto possiede a un certo istante, moltiplicata per la durata infinitesima di quell’istante dà una lunghezza infinitesima. Sommando infinite distanze infinitesimali si ottiene esattamente lo spazio percorso dall’oggetto e la sua traiettoria esatta. Questo processo di sommatoria di infinite quantità infinitesimali è detto integrale. Carlo Emilio Gadda, che non a caso prima di consacrarsi come scrittore ha avuto un passato da ingegnere, scrisse: «l’integrale dei fuggenti attimi è l’ora».
Le nostre vite sono un lungo integrale di istanti infinitesimi che in ogni momento continua ad estendersi di un nulla. Balthus era in grado di estrarre dall’integrale un intervallo infinitesimo per prolungarlo eternamente sulla tela. Newton e Leibniz hanno costruito il sistema di calcolo moderno, basato interamente sulle quantità infinitesimali. Noi, per quanto possiamo comprendere razionalmente il linguaggio matematico, continueremo a interrogarci sul reale significato che un istante ha nelle nostre vite, sul cosa accadrebbe se fossimo in grado di estrarne uno in particolare, a quali conseguenze porterebbe il cambiarlo, in che modo un solo istante può riflettersi nel corso di una vita. Nel frattempo Achille raggiungerà la tartaruga.